Até as primeiras décadas do século XIX o mundo conhecia uma única e comprovada geometria: a de Euclides. A figura de Euclides é um mistério na história da Matemática. Para alguns ele nunca existiu, para outros, lecionou na Biblioteca de Alexandria, d urante o reinado de Ptolomeu Soter, isto, por volta dos anos 300 antes de Cristo. Na época, o Museion, o maior centro cultural da Grécia Antiga, incluía a Biblioteca de Alexandria. Nesse ambiente científico-aristocrático Euclides escreveu Os Elemento s, obra que influenciaria toda a ciência e religiosidade da civilização ocidental. Ninguém poderia em sã consciência contestar a geometria de Euclides, até que dois matemáticos independentemente ousaram criar duas geometrias que contrariavam os princ ípios básicos da geometria euclidiana. O presente livro apresenta ao leitor com ou sem formação matemática superior um convite para penetrar nos espaços das duas clássicas geometrias não euclidianas, na esperança de que esse primeiro contato, por vez es desconfortável, mas sempre instigante, mostre ao interessado o quanto as geometrias não euclidianas têm a nos oferecer de surpresas em razão da natureza dos espaços envolvidos.